(本小题满分12分)已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点.(1)设为参数，求椭圆的参数方程；(2)在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求此最大值.

Question

(本小题满分12分)已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点.
(1)设 为参数，求椭圆的参数方程；
(2)在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求此最大值.

Answer 1

（1）  （ 为参数）；
（2）当  ，即 时，  。 

本试题主要是考查了运用参数方程来求解最值的数学思想的运用。
（1）把 代入椭圆方程，得 ，
于是  ， 即  ，那么可知参数方程的表示。
（2）由椭圆的参数方程，设
易知 A(3,0),B(0,2)，连接OP,

结合三角函数的值域求解最值。
（1）把 代入椭圆方程，得 ，
于是  ， 即  ………………（3分）
由参数 的任意性，可取 ，
因此，椭圆 的参数方程是  （ 为参数）………（5分）
（2）由椭圆的参数方程，设
易知 A(3,0),B(0,2)，连接OP,
……（9分）
当  ，即 时，……………………………（11分）
                  ………………………………（12分）