设有两条抛物线y=nx2+1n和y=（n+1）x2+1n+1．记它们交点的横坐标的绝对值为an；（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；（2）求级数∞n＝1Snan的和．

Question

设有两条抛物线y=nx²+(1)/(n)和y=（n+1）x²+(1)/(n+1)．记它们交点的横坐标的绝对值为a_n；
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积S_n；
（2）求级数

∞

n＝1

(Sn)/(an)的和．

Answer 1

解；   （1）抛物线y＝nx2+(1)/(n)和y＝(n+1)x2+(1)/(n+1)，联立方程
 

y＝nx2+(1)/(n)

y＝(n+1)x2+(1)/(n+1)

解得：
x2＝(1)/(n)−(1)/(n+1)＝(1)/(n(n+1))
∴an＝(1)/(√(n(n+1)))
又抛物线y＝nx2+(1)/(n)在y＝(n+1)x2+(1)/(n+1)的上方
∴S_n=

∫

an −an

[nx2+(1)/(n)−(n+1)x2−(1)/(n+1)]dx＝2

∫

an 0

[(1)/(n(n+1))−x2]dx
=2[(1)/(n(n+1))x−(1)/(3)x3

]

an 0

=(4)/(3)•(1)/(n(n+1)√(n(n+1)))
（2）由第（1）问，(Sn)/(an)＝(4)/(3)•(1)/(n(n+1))=(4)/(3)((1)/(n)−(1)/(n+1))
∴

n

k＝1

(Sk)/(ak)＝(4)/(3)[1−(1)/(n+1)]
∴

∞

n＝1

(Sn)/(an)＝

lim

n→∞

n

k＝1

(Sk)/(ak)=

lim

n→∞

(4)/(3)(1−(1)/(n+1))＝(4)/(3)