已知椭圆，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线对称时的取值范围为()A．B．C．D．

Question

已知椭圆 ，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线 对称时 的取值范围为(    )

A．	B．
C．	D．

Answer 1

已知椭圆 ，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线 对称时 的取值范围为(    )

A．	B．
C．	D．

B

分析：设椭圆上两点A（x ₁ ，y ₁ ）、B（x ₂ ，y ₂ ）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x ₀ ，y ₀ ），利用平方差法与直线y=4x+m可求得x ₀ =-m，y ₀ =-3m，点M（x ₀ ，y ₀ ）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．
∵ ，故3x ² +4y ² -12=0，
设椭圆上两点A（x ₁ ，y ₁ ）、B（x ₂ ，y ₂ ）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x ₀ ，y ₀ ），
则 3x ₁ ² +4y ₁ ² =12，①
3x ₂ ² +4y ₂ ² ="12" ②
①-②得：3（x ₁ +x ₂ ）（x ₁ -x ₂ ）+4（y ₁ +y ₂ ）（y ₁ -y ₂ ）=0，即 3?2x ₀ ?（x ₁ -x ₂ ）+4?2y ₀ ?（y ₁ -y ₂ ）=0，
∴ =- ? =- ．
∴y ₀ =3x ₀ ，代入直线方程y=4x+m得x ₀ =-m，y ₀ =-3m；
因为（x ₀ ，y ₀ ）在椭圆内部，
∴3m ² +4?（-3m） ² ＜12，即3m ² +36m ² ＜12，解得- ＜m＜ ．
故选B．