过点（1,0）的直线l与中心在原点,焦点在x轴上,且离心率为二分之根号2的椭圆C交于A,B两点,直线y=2分之1x,过线段AB中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,求直线l与椭圆C的方程

Question

过点（1,0）的直线l与中心在原点,焦点在x轴上,且离心率为二分之根号2的椭圆C交于A,B两点,直线y=2分之1 x,过线段AB中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,求直线l与椭圆C的方程

Answer 1

(1)l的方程
∵过（1,0）,故设直线l的方程为：x=my+1 ·····（1）
对于椭圆方程,由e可求得 c^2/a^2=1/2 故设椭圆为x^2/2c^2+y^2/c^2=1·····（2）
设A（x1,y1） B（x2,y2） A、B中点P（x0,y0）
联立（1）（2）得方程
（m^2+2）y^2+2my+1-2c^2=0
由韦达定理,y0=（y1+y2）/2=-m/m^2+2 代入（1） 则x0=2/m^2+2
又因为P过直线y=1/2x 将p点（x0,y0）代入 得m=-1
故L的方程为 x+y-1=0
（2）椭圆的方程
x^2/2c^2+y^2/c^2=1·····（2）
右焦点为（c,0）设与右焦点关于l对称的点为Q（x3,y3）
设L1过右焦点和Q点,L与L1垂直,那么它的斜率乘以L的斜率应为-1
∴L1的斜率为1 设L1 y=x-c与方程（2）联立
化简得3x^2-4cx=0,知交点为（0,-c）,（4/3c,1/3c）
若（0,-c）与右焦点（c,0）的中点在L上,由此代入L方程无解
则（4/3c,1/3c）与右焦点（c,0）的中点在L上,由此求出c=3/4
代入（2）可求出椭圆方程
累死我了 打个字.