如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，且直线MA，MB的斜率之积为-14．（1）求椭圆的离心率；（2）若点M又

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F₁，F₂，点M在椭圆上，且直线MA，MB的斜率之积为-(1)/(4)．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点M又在以线段F₁F₂为直径的圆上，且△MAB的面积为(2√(3))/(3)，
求椭圆的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，
∴A（-a，0），B（a，0），
设M（x₀，y₀），则(x02)/(a2)+(y02)/(b2)＝1．
∴kMA•kMB＝(y0)/(x0+a)•(y0)/(x0−a)＝(y02)/(x02−a2)＝(b2(1−(x02)/(a2)))/(x02−a2)＝−(b2)/(a2)，…（4分）
∵MA，MB的斜率之积为−(1)/(4)，∴a²=4b²．
∵a²=b²+c²，∴a²=4（a²-c²）．∴e2＝(3)/(4)，
∴椭圆的离心率e＝(√(3))/(2)．…（6分）
（2）设M（x₀，y₀），则

作业帮用户 2017-10-29

问题解析

（1）A（-a，0），B（a，0），设M（x₀，y₀），由MA，MB的斜率之积为−

(x02)/(a2)(1)/(4)，得到a²=4b²．由此能注出椭圆的离心率．
（2）设M（x₀，y₀），由已知条件推导出x02+4y02＝a2，x02+y02＝(3)/(4)a2，y02＝(4)/(3a2)，由此能求出椭圆C的标准方程．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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