椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．

Question

椭圆Γ：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若直线y=√(3)(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于 ___ ．

Answer 1

如图所示，
由直线y=√(3)(x+c)可知倾斜角α与斜率√(3)有关系√(3)=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
设|MF₂|=m，|MF₁|=n，则

m2+n2=(2c)2

m+n=2a

m=√(3)n

，解得(c)/(a)=√(3)-1．
∴该椭圆的离心率e=√(3)-1．
故答案为√(3)-1．