椭圆C：x∧2+y∧2/4=1短轴的左右两个端点分别为A,B,直线l：y=kx+1与x轴,y轴分别交于两点E,F,与椭圆交于两点C,D,若2CE=FD,求直线l的方程.

Question

椭圆C：x∧2+y∧2/4=1短轴的左右两个端点分别为A,B,直线l：y=kx+1与x轴,y轴分别交于两点E,F,与椭圆交于两点C,D,若2CE=FD,求直线l的方程.

Answer 1

直线l：y=kx+1①与x轴,y轴分别交于两点E(-1/k,0),F(0,1),
与椭圆x^2+y^2/4=1②交于两点C(x1,y1),D(x2,y2),
把①代入②*4,4x^2+k^2*x^2+2kx+1=4,
整理得(4+k^2)x^2+2kx-3=0,
解得x1,2=[-k土2√(3+k^2)]/(4+k^2),
由2CE=FD得2(-1/k-x1)=x2,2x1+x2=-2/k,
∴[-3k土2√(3+k^2)]/(4+k^2)=-2/k,
去分母得-3k^2土2k√(3+k^2)=-8-2k^2,
整理得土2k√(3+k^2)=k^2-8,
平方得4k^2*(3+k^2)=k^4-16k^2+64,
整理得3k^4+28k^2-64=0,
解得k^2=(-14+2√97)/3,k=土√[(-14+2√97)/3],
∴直线l的方程是y=土x√[(-14+2√97)/3]+1.