已知椭圆C：x24+y2=1的短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M（m，12）满足m≠0，且m≠±3．（1）用m表示点E，F的坐标；（2）证明直线EF与y轴交点的位置

Question

已知椭圆C：(x2)/(4)+y²=1的短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M（m，(1)/(2)）满足m≠0，且m≠±√(3)．
（1）用m表示点E，F的坐标；
（2）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．
（3）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，(1)/(2)），且m≠0，
∴直线AM的斜率为k₁=-(1)/(2m)，直线BM斜率为k₂=(3)/(2m)，
∴直线AM的方程为y=-(1)/(2m)x+1，直线BM的方程为y=(3)/(2m)x−1，
由

(x2)/(4)+y2＝1

y＝−(1)/(2m)x+1

，得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=(4m)/(m2+1)，∴E（(4m)/(m2+1)，(m2−1)/(m2+1)），
由

(x2)/(4)+y2＝1

y＝(3)/(2m)x−1

，得（9+m²）x²-12mx=0，
∴x=0，x=(12m)/(m2+9)，∴F（(12m)/(m2+9)，(9−m2)/(m2+9)）．
（Ⅱ）证明：据已知，m≠0，m²≠3，
∴直线EF的斜率k＝((m2−1)/(1+m2)−(9−m2)/(9+m2))/((4m)/(1+m2)−(12m)/(9+m2))＝((m2+3)(m2−3))/(−4m(m2−3))=−(m2+3)/(4m)，
∴直线EF的方程为y−(m2−1)/(m2+1)＝−(m2+3)/(4m)(x−(4m)/(m2+1))，
令x=0，得y=2，∴EF与y轴交点的位置与m无关．
（Ⅲ）∵S_△BMF=(1)/(2)|MA||MF|sin∠AMF，
S_△BME=(1)/(2)|MB||ME|sin∠BME，
∵∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴(5|MA|)/(|ME|)＝(|MB|)/(|MF|)，
∴(5m)/((4m)/(m2+1)−m)=(m)/((12m)/(9+m2)−m)，∵m≠0，
∴整理方程得(1)/(m2+1)=(15)/(m2+9)−1，即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵m≠±3，∴m²-3≠0，
∴m²=1，∴m=±1为所求．