已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，以弦为直径的圆过坐标原点，试探讨点到直线的距离是否为定值？

Question

已知椭圆C: 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 与椭圆C交于A、B两点，以 弦为直径的圆过坐标原点 ，试探讨点 到直线 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

已知椭圆C: 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线 与椭圆C交于A、B两点，以 弦为直径的圆过坐标原点 ，试探讨点 到直线 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

（1） ；（2）是定值，定值为 ．

试题分析：（1）利用椭圆的离心率为  ，短轴一个端点到右焦点的距离为 ，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（2）分类讨论，①当 轴时，得 ②当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ．联立 ，得 ，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，则有 ，得 ，再利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
（1）设椭圆的半焦距为 ，依题意     ，  
所求椭圆方程为 ．
（2）设 ， ．
①当 轴时，设 方程为： ，此时 两点关于 轴对称，
又以 为直径的圆过原点，设 代人椭圆方程得：
②当 与 轴不垂直时，
设直线 的方程为 ．联立 ，
整理得 ，
， ．
又 。
由以 为直径的圆过原点，则有 。 即：  故满足：    得：

作业帮用户 2017-11-03

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