已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A,B
已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦距为2,且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A,B,且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.
答案和解析
(Ⅰ)∵椭圆E:
+=1(a>b>0)的焦距为2,
∴c=1,设M、N为短轴的两个三等分点,F为焦点,
∵△MNF为正三角形,
∴|OF|=|MN|,
即1=•,解得b=.
a2=b2+1=4,
∴椭圆方程为+=1.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0).
点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标满足方程组,
将①式代入②式,得3x2+4(kx+m)2=12,
整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
此方程有两个不等实根,
于是△=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)>0.
整理得4k2-m2+3>0…③,
由根与系数的关系,
知线段AB的中点坐标(x0,y0)满足x0==,
y0=kx0+m=.
从而线段AB的垂直平分线方程为y-=−(x+).
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为(,0),(0,).
由题设得||•||=.
整理得m2=,k≠0.
将上式代入③式得4k2-+3>0,
整理得(4k2+3)(4k2-8|k|+3)<0,k≠0.
解得<|k|<.
∴k的取值范围是(−,−)∪(,).
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