已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B

Question

已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为(1)/(16)，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的焦距为2，
∴c=1，设M、N为短轴的两个三等分点，F为焦点，
∵△MNF为正三角形，
∴|OF|=(√(3))/(2)|MN|，
即1=(√(3))/(2)•(2b)/(3)，解得b=√(3)．
a²=b²+1=4，
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐标满足方程组

y＝kx+m，①

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1，②

，
将①式代入②式，得3x²+4（kx+m）²=12，
整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
此方程有两个不等实根，
于是△=（8km）²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0．
整理得4k²-m²+3＞0…③，
由根与系数的关系，
知线段AB的中点坐标（x₀，y₀）满足x₀=(x1+x2)/(2)＝(−4km)/(4k2+3)，
y₀=kx₀+m=(3m)/(4k2+3)．
从而线段AB的垂直平分线方程为y-(3m)/(4k2+3)＝−(1)/(k)(x+(4km)/(4k2+3))．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为((−km)/(4k2+3)，0)，(0，(−m)/(4k2+3))．
由题设得(1)/(2)|(−km)/(4k2+3)|•|(−m)/(4k2+3)|＝(1)/(16)．
整理得m²=((4k2+3)2)/(8|k|)，k≠0．
将上式代入③式得4k²-((4k2+3)2)/(8|k|)+3＞0，
整理得（4k²+3）（4k²-8|k|+3）＜0，k≠0．
解得(1)/(2)＜|k|＜(3)/(2)．
∴k的取值范围是(−(3)/(2)，−(1)/(2))∪((1)/(2)，(3)/(2))．