已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,短轴的一个顶点与两焦点构成的三角形面积为√3.（1）\x05过点P（1,1）作两条不同求椭圆方程（2）\x05直线分别交椭圆于A,B和C,D,且|AP|.|BP|=|CP|.|DP|,试求直

Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,短轴的一个顶点与两焦点构成的三角形面积为√3.
（1）\x05过点P（1,1）作两条不同求椭圆方程
（2）\x05直线分别交椭圆于A,B和C,D,且|AP|.|BP|=|CP|.|DP|,试求直线AB与直线CD的倾斜角的关系

Answer 1

1.S=|F1F2|BP|b*1/2=2bc*1/2=√3
c/a=1/2,bc=√3,a^2-b^2=c^2,得a=2,b=√3,c=1
所以椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1
2.设y-1=k(x-1),A(x1,y1)B(x2,y2).有3x^2+4y^2=12,y=k(x-1）+1,得（3+4k^2）x^2+
（8k-8k^2）x+4k^2-8k-8=0,根据韦达定理,x1x2=（4k^2-8k-8）/（3+4k^2）,x1+x2=（8k^2-8k）/（3+4k^2）,y1+y2=k（x1+x2+2)+1,y1y2=k^2（x1-1）（x2-1）+k（x1+x2-2）+1
|AP||BP|=AP向量点乘BP向量=（1-x1）（1-x2）+（1-y1）（1-y2）=-（5k^2+5）/（3+4K^2）
可以设过AB的直线斜率为k1,过BD的直线斜率为k2.由题意得k1^2=k2^2即（tana1）^2=(tana2)^2 所以a1+a2=180度 a1,a2互补,所以直线AB与直线CD的倾斜角互补.