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(2011•徐汇区三模)定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0823dd54564e92587e68415f9f82d158ccbf4e27.jpg)
x2 |
4 |
(1)若椭圆C2:
x2 |
16 |
y2 |
4 |
(2)写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程;若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称,求实数b的取值范围?
(3)如图:直线l与两个“相似椭圆”
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)椭圆C2与C1相似.-------------------(2分)
因为椭圆C2的特征三角形是腰长为4,底边长为4
的等腰三角形,而椭圆C1的特征三角形是腰长为2,底边长为2
的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为2:1-------------------(4分)
(2)椭圆Cb的方程为:
+
=1(b>0)-------------------(6分)
设lMN:y=-x+t,点M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x0,y0),
则
,所以5x2-8tx+4(t2-b2)=0-------------------(8分)
则x0=
=
,y0=
-------------------(9分)
因为中点在直线y=x+1上,所以有
=
+1,t=−
-------------------(10分)
即直线lMN的方程为:lMN:y=−x−
因为椭圆C2的特征三角形是腰长为4,底边长为4
3 |
3 |
(2)椭圆Cb的方程为:
x2 |
4b2 |
y2 |
b2 |
设lMN:y=-x+t,点M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x0,y0),
则
|
则x0=
x1+x2 |
2 |
4t |
5 |
t |
5 |
因为中点在直线y=x+1上,所以有
t |
5 |
4t |
5 |
5 |
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即直线lMN的方程为:lMN:y=−x−
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