（2011•徐汇区三模）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并

Question

（2011•徐汇区三模）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：(x2)/(4)+y2＝1．
（1）若椭圆C2：(x2)/(16)+(y2)/(4)＝1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线l与两个“相似椭圆”(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1和(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，证明：|AC|=|BD|

Answer 1

（1）椭圆C₂与C₁相似．-------------------（2分）
因为椭圆C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为4√(3)的等腰三角形，而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为2√(3)的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1-------------------（4分）
（2）椭圆C_b的方程为：(x2)/(4b2)+(y2)/(b2)＝1(b＞0)-------------------（6分）
设l_MN：y=-x+t，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点为（x₀，y₀），
则

y＝−x+t

(x2)/(4b2)+(y2)/(b2)＝1

，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0-------------------（8分）
则x0＝(x1+x2)/(2)＝(4t)/(5)，y0＝(t)/(5)-------------------（9分）
因为中点在直线y=x+1上，所以有(t)/(5)＝(4t)/(5)+1，t＝−(5)/(3)-------------------（10分）
即直线l_MN的方程为：lMN：y＝−x−

作业帮用户 2016-12-09

问题解析

（1）分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比．
（2）设出椭圆C_b的方程，直线l_MN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线l_MN的方程，根据直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围．
（3）直线l与x轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合；直线l不与x轴垂直时，设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程分别求出线段AB与CD的中点，得到中点坐标相同即可说明结论．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两点关于直线对称的性质，求直线MN的方程是解决第二问的关键，而第三问的关键在于分析出：线段AB与CD的中点重合⇒|AC|=|BD|．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议