高中数学已知椭圆的中心在原点,它在X轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且此焦点和长轴上较近端点的距离是根号10-根号5,求椭圆的方程.正确答案为：x2/10+y2/5=1.我想要详细的计

Question

高中数学
已知椭圆的中心在原点,它在X轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且此焦点和长轴上较近端点的距离是根号10-根号5,求椭圆的方程.
正确答案为：x2/10+y2/5=1.我想要详细的计算过程,谢谢了.

Answer 1

一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直
所以一个焦点与短轴一个端点的连线和x轴的夹角是45度
此线段和两坐标轴是直角三角形
所以这是等腰直角三角形
所以原点到焦点距离等于到短轴端点距离
即b=c
此焦点和长轴上较近端点的距离是根号10-根号5
所以a-c=√10-√5
a^2=b^2+c^2=2c^2
所以a=√2c
所以√2c-c=√10-√5=√5(√2-1)
所以c=√5
b=c=√5
a=√2c=√10
所以x^2/10+y^2/5=1