已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，

Question

已知椭圆的两个焦点 ，且椭圆短轴的两个端点与F ₂ 构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使 恒为定值，求m的值．

Answer 1

（I）由题意可得 c= ，tan30°= = ，∴b=1，∴a=2，
故椭圆的方程为 ．
（Ⅱ） 设直线l的方程为 y﹣0=k（x﹣1），即 y=kx﹣k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k ² ）x ² ﹣8k ² x+4k ² ﹣4=0，
∴x ₁ +x ₂ = ，x ₁ x ₂ = ．
∴ =（m﹣x ₁ ，﹣y ₁ ）（m﹣x ₂ ，﹣y ₂ ）
=（m﹣x ₁ ）（m﹣x ₂ ）+y ₁ y ₂
=（m ² +k ² ）+（1+k ² ）x ₁ x ₂ ﹣（m+k ² ）（x ₁ +x ₂ ）
=（m ² +k ² ）+（1+k ² ） ﹣（m+k ² ）
=   恒为定值，
∴ ，
∴m= ．