以椭圆x2a2+y2=1（a>1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．

Question

以椭圆(x2)/(a2)+y2=1（a>1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．

Answer 1

因a>1，不防设短轴一端点为B（0，1），内接直角三角形为△ABC，
则两腰所在直线的斜率一定存在且不为0，
设BC：y=kx+1（k>0）
则AB：y=-(1)/(k)x+1
把BC方程代入椭圆，
得（1+a²k²）x²+2a²kx=0
∴|BC|=√(1+k2)(2a2k)/(1+a2k2)，同理|AB|=√(1+k2)(2a2)/(k2+a2)
由|AB|=|BC|，得k³-a²k²+ka²-1=0
（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0
∴k=1或k²+（1-a²）k+1=0
当k²+（1-a²）k+1=0时，△=（a²-1）²-4
由△<0，得1<a<√(3)
由△=0，得a=√(3)，此时，k=1
故当△≤0，即1<a≤√(3)时，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有一解
当△>0即a>√(3)时，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解
即当1<a≤√(3)时，符合条件的等腰直角三角形只有一个；
当a>√(3)时，符合条件的等腰三角形可作三个