如图,从椭圆上一点P向X轴作垂线,恰好通过椭圆的一个焦点,这是椭圆的长轴的端点A和短轴的端点B的连线平行于OP,求椭圆的离心率.

Question

如图,从椭圆上一点P向X轴作垂线,恰好通过椭圆的一个焦点,这是椭圆的长轴的端点A和短轴的端点B
的连线平行于OP,求椭圆的离心率.

Answer 1

设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,a为长轴长度,b为短轴长度,过椭圆上P做垂线,通过一个焦点,则P点横坐标为c=√(a^2-b^2),带入椭圆方程
c^2/a^2+y^2/b^2=1,则y=[b√(a^2-c^2)]/a
OP平行AB,三角形OPC（C是那个焦点）相似于三角形ABO
PC/OC=OB/OA
[b√(a^2-c^2)]/a/c=b/a
√(a^2-c^2)/c=1
a^2=2c^2
离心率 c/a=√2/2