已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，当k₁•k₂ 最大时，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），
∴由左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形，
可得b=c且√(b2+c2)=2，解得b=c=√(2)，a=√(b2+c2)=2．
∴椭圆 C的方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1；
（Ⅱ）①直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点，
∴k₁•k₂=(3)/(4+2)•(3)/(4−2)=(3)/(4)；
②直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由√(x＝my+1(x2)/(4)+作业帮用户2017-11-16问题解析（Ⅰ）根据题意，结合正方形的性质可得b=c且√(b2+c2)=2，由此算出a=2，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k1•k2=(3)/(4)；直线l的斜率不等于0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到y1+y2=(−2m)/(m2+2)，y1y2=(−3)/(m2+2)．由此利用直线的斜率公式和直线l方程化简k1•k2的式子，再根据基本不等式加以计算，可得k1•k2=(3)/(4)+(4m+1)/(8m2+12)≤1，当且仅当m=1时，等号成立．因此当m=1时k1•k2的最大值为1，可得此时的直线l的方程．名师点评本题考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．考点点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)