已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3（1）求椭圆C的方程；（2）设过点

Question

已知椭圆 C：(x2)/(a2) +(y2)/(b2) =1(a＞b＞0) 的离心率为 (6)/(3) ，短轴的一个端点到右焦点的距离为

3

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，2）直线l与C交于A，B，若∠AOB为锐角，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

（1）由 e 2 =(2)/(3) 得a ² =3b ² ，又由题意知 a=

3

，所以b=1，所以 (x2)/(3) + y 2 =1 …（4分）
（2）设直线方程为y=kx+2，所以

y=kx+2

x 2 +3 y 2 =3

⇒(3k   2 +1) x 2 +12kx+9=0 ，…（2分）
由题意知△=144k ² -36（3k ² +1）＞0，解得k ² ＞1…（1分）
又

x 1 + x 2 =(-12k)/(3 k2 +1)

x 1 x 2 =(9)/(3 k2 +1)

，由∠AOB为锐角可得，

OA

•

OB

＞0 即x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ ＞0…（2分）
所以（k ² +1）x ₁ x ₂ +2k（x ₁ +x ₂ ）+4＞0，代解得 k 2 ＜(13)/(3) …（2分）
综上可得 1＜ k 2 ＜(13)/(3) …（1分）