已知椭圆的焦距与短轴长相等，点A，B，C都在椭圆C上，且AB、AC分别过两个焦点F1、F2．（I）求椭圆C的离心率；（II）若直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过，求椭圆方程

Question

已知椭圆 的焦距与短轴长相等，点A，B，C都在椭圆C上，且AB、AC分别过两个焦点F ₁ 、F ₂ ．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过 ，求椭圆方程．

Answer 1

分析：
（I）根据椭圆的焦距与短轴长相等，可得b=c，从而可求椭圆C的离心率；（II）设弦AB中点坐标（m，n），利用直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过，求出弦AB中点坐标，从而可求椭圆方程．

（I）∵椭圆的焦距与短轴长相等，∴2c=2b，∴b=c∴=∴；（II）设弦AB中点坐标（m，n），则，∴，又，∴c=1，b=1，a2=2∴椭圆方程为．
点评：
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．