已知椭圆C：（a＞b＞0）的右准线l的方程为x=，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A1，A2）两点，设直线PA1与直线QA2相交于

Question

已知椭圆C： （a＞b＞0）的右准线l的方程为x= ，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A ₁ ，A ₂ ）两点，设直线PA ₁ 与直线QA ₂ 相交于点M（2x ，y ）．
①试用x ，y 表示点P，Q的坐标；
②求证：点M始终在一条定直线上．

Answer 1

分析：
（1）由题设条件能够得到，由此可求出椭圆C的方程．（2）A1（-2，0），A2（2，0），方程为MA1的方程为：，代入，得．P（，）．同理可得Q（，）．再由P，Q，B三点共线，知kPB=kQB，从而得到点M始终在定直线x=4上．

（1）由得∴椭圆C的方程为；（2）A1（-2，0），A2（2，0），方程为MA1的方程为：，即．代入，得，即．∴=，则=．即P（，）．同理MA2的方程为，即．代入，得，即．∴=．则=．即Q（，）．∵P，Q，B三点共线，∴kPB=kQB，即．∴．即．由题意，y≠0，∴．3（x+1）（x-1）2-（x+1）y2=（x-1）（x+1）2-3（x-1）y2．∴（2x-4）（x2+y2-1）=0．则2x-4=0或x2+y2=1．若x2+y2=1，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．∴2x-4=0，点M始终在定直线x=4上．
点评：
本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．