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如图,在⊙O的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2
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如图,在⊙O的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是 上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G. (1)求证:△PAC∽△PDF; (2)若AB=5, ,求PD的长; (3)在点P运动过程中,设 ,求 与 之间的函数关系式.(不要求写出 的取值范围) |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明见解析;(2) ;(3) . |
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论. (2)由AC=2BC,设 ,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得 ,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由 可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,由(1)△PAC∽△PDF得 ,即可求得PD的长. (3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得 ,由角的转换可得 ,由△AGP∽△DGB可得 ,由△AGD∽△PGB可得 ,两式相乘可得结果. 试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B, 又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC. ∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD. 又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF. (2)连接BP,设 ,∵∠ACB=90°,AB=5,∴ .∴ . ∵△ACE∽△ABC,∴ ,即 . ∴ . ∵AB⊥CD,∴ . 如图,连接BP, ∵ ,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°, . ∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6. 由(1)△PAC∽△PDF得 ,即 . ∴PD的长为 . (3)如图,连接BP,BD,AD, ∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即 . ∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD. ∵ ,∴ . ∵△AGP∽△DGB,∴ . ∵△AGD∽△PGB,∴ . ∴ ,即 . ∵ ,∴ . ∴ 与 之间的函数关系式为 . |
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