已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴非负半轴上，点M在直线AQ上，满足·=0，=-.（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；（2）设轨迹C的准线为l,焦点为F，过F作直线m

Question

已知点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴非负半轴上，点M在直线AQ上，满足 · =0， =- .
（1）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C的准线为l,焦点为F，过F作直线m交轨迹C于G，H两点，过点G作平行于轨迹C的对称轴的直线n,且n∩l=E，试问点E，O，H（O为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由.

Answer 1

（1）M点的轨迹方程为y ² =4x，（2）O，E，H三点共线

（1）设M（x,y）为轨迹上任意一点，
A（0,b）,Q(a,0)(a≥0),
则 =（x,y-b）， ="(a-x,-y),"
∵ =- ，
∴（x，y-b）=- （a-x，-y），
∴ ，从而 .
∴A ，且 = , = .
∵ · =0，
∴ · =0，即3x- y ² =0,
∴y ² =4x,故M点的轨迹方程为y ² =4x.
(2)轨迹C的焦点为F（1，0），准线为l:x=-1,对称轴为x轴.设直线m的方程为y=k(x-1)(k≠0),
由 ky ² -4y-4k=0,
设G（x ₁ ,y ₁ ）,H(x ₂ ,y ₂ ),
则由根与系数的关系得，y ₁ y ₂ =-4,
又由已知 =（-1，y ₁ ), = ,
∴(-1)×y ₂ -y ₁ × =-y ₂ - ·y ₂ =-y ₂ +y ₂ =0,
∴ ∥ ,故O，E，H三点共线.