抛物线y^2=8x的准线交于x轴于点M,F是抛物线的焦点,过点M的直线l交抛物线于A,B,且使2AF=BF,求直线l

Question

抛物线y^2=8x的准线交于x轴于点M,F是抛物线的焦点,过点M的直线l交抛物线于A,B,且使2AF=BF,求直线l

Answer 1

答：抛物线y^2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,点M（-2,0）.
设A（2a^2,4a）,点B（2b^2,4b）.
抛物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离,所以根据2AF=BF得：
2(2a^2+2）=2b^2+2
所以：b^2=2a^2+1………………（1）
直线AB的斜率k=(4b-4a)/(2b^2-2a^2)=2/(a+b)=(4a-0)/(2a^2+2)
整理得：ab=1……………………（2）
由（1）和（2）解得：a^2=1/2,b^2=2
因为A、B是在x轴的同一侧,所以a和b同号.a=√2/2时b=√2；a=-√2/2时b=-√2
所以：k=2/(a+b)=2√2/3或者-2√2/3
所以：直线L为y=k(x+3)=2√2(x+2)/3或者y=-2√2(x+2)/3
综上所述,直线L为y=2√2(x+2)/3或者y=-2√2(x+2)/3