△ABC中B是椭圆在x轴上方的顶点是双曲线位于x轴下方的准线当AC在直线上运动时.(1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；(2)过定点作互相垂直的直线分别交

Question

 △ABC中 B是椭圆 在x轴上方的顶点 是双曲线 位于x轴下方的准线 当AC在直线 上运动时.

(1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；

(2)过定点 作互相垂直的直线 分别交轨迹E于M、N和R、Q 求四边形MRNQ面积的最小值.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由椭圆方程 及双曲线方程 可得点 直线 方程是

   且 在直线 上运动。

   可设

   则 的垂直平分线方程为                             ①

   的垂直平分线方程为           ②

P是△ABC的外接圆圆心， 点P的坐标 满足方程①和②

由①和②联立消去 得

故圆心P的轨迹E的方程为 _{--------------------------------------------------------（6分）}

(2)由图可知，直线 和 的斜率存在且不为零，设 的方程为 ，

， 的方程为

由         得 _{------------------------------（8分）}

  △= 直线 与轨迹E交于两点。

设 ，则 。

同理可得： 四边形MRNQ的面积

_{------------ （12分）}

当且仅当 ，即 时，等号成立。

故四边形MNRQ的面积的最小值为72。----------------------------------------------------（13分）