第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．

Question

第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．
已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F₂，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的方程；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长为连续的自然数．

Answer 1

（1）设椭圆的实半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
当m=1时，由题意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（2）依题意知直线l的斜率存在，设l：y=k（x-1），由

y2＝4x

y＝k(x−1)

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由直线l与抛物线M有两个交点，可知k≠0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得x1+x2＝(2k2+4)/(k2)，则|AB|＝x1+x2+2＝4•(1+k2)/(k2)（6分）又△PF₁F₂的周长为2a+2c=6，所以4•(1+k2)/(k2)＝6，
解得k＝±√(2)，从而可得直线l的方程为2x±√(2)y−2＝0
（3）假设存在满足条件的实数m，
由题意得c=m，a=2m⇒b²=3m²，所以椭圆C的方程为(x2)/(4m2)+(y2)/(3m2)＝1
联立

(x2)/(4m2)+(y2)/(3m2)＝1

y2＝4mx

(m＞0)解得x0＝(2m)/(3)，y0＝±(2√(6)m)/(3)即P((2m)/(3)，±(2√(6)m)/(3))．
所以|PF2|＝x0+m＝(5m)/(3)，|PF1|＝4m−|PF1|＝(7m)/(3)，|F₁F₂|=2m，
即△PF₁F₂的边长分别为(5)/(3)m、(6)/(3)m、(7)/(3)m，显然|PF₂|＜|F₁F₂|＜|PF₁|，
所以

(5m)/(3)＝2m−1

(7m)/(3)＝2m+1

⇒m＝3，故当m=3时，使得△PF₁F₂的边长为连续的自然数．