设S为R3中封闭光滑曲面，l为任何固定方向，n为曲面S的外法线方向，求∬Scos（n，l）dS．

Question

设S为R³中封闭光滑曲面，l为任何固定方向，n为曲面S的外法线方向，求

∬

S

cos（n，l）dS．

Answer 1

设S所围成的区域为V，l=（l₁，l₂，l₃），则
cos（n，l）=l₁cos（n，x）+l₂cos（n，y）+l₃cos（n，z），
利用高斯公式，则有

∬

S

cos（n，l）dS=

∫∫

S

[l1cos(n，x)+l2cos(n，y)+l3cos(n，z)]dS
=

∫∫∫

V

((∂l1)/(∂x)+(∂l2)/(∂y)+(∂3)/(∂z))dxdydz（由于l是固定的方向）
=

∫∫∫

V

0dxdydz=0．