（18分）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计．在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2

Question

（18分）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计．在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3．一根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）．已知三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l ₀ ，整个系统处在静止状态．现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离．假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰．求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间．

Answer 1

设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为Δt，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图1所示：图中，F表示Δt时间内任意时刻弹簧的弹力，T表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力．因D的质量忽略不计，有 (1)在时间Δt内任一时刻，砝码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的．设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有 (2) (3) (4) (5)式中IF、Img、IT、分别代表力F、mg、T、T0在Δt时间内冲量的大小。注意到式(1)，有 (6)由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得 (7)在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动．以Δl1表示在Δt时间内弹簧上端向上运动的距离，Δl2表示其下端向下运动的距离．由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的1/3，故有 (8)另有 (9)在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有 (10)由(7)、(8)、(9)、(10) 式得 (11)砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有 (12)砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示，以表示加速度的大小，有 (13) (14) (15) 　（16）由 (14)、(15) 和(16)式得 　 　 　 　 (17)托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有 (18)由 (7)、(12)、(17) 和(18)式，得 (19)即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等．由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇．题中要求的时间 (20)由 (11)、(12)、(20) 式得 (21)