如图所示，虚线OL与y轴的夹角为θ=60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M

Question

如图所示，虚线OL与y轴的夹角为θ=60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M．粒子在磁场中运动的轨道半径为R．粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点（图中未画出），且

.

OD

=R．不计重力．求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

根据题意，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设运动轨迹交虚线OL于A点，圆心在y轴上的C点，AC与y轴的夹角为α；粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴的P点，设AP与x轴的夹角为β，如右图所示
由牛顿第二定律得： qvB=m(v2)/(R)     ①
周期为 T=(2πR)/(v) =(2πm)/(qB)        ②
过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为B、D．
由几何知识得

.

AD

=Rsinα ，

.

OD

=

.

AD

cot60° ，

.

BP

=

.

OD

cotβ ，

.

OP

=

.

AD

+

.

BP

，α=β     ③
联立得到  sinα+(1)/(3) cosα=1
解得 α=30°，或α=90°
设M点到O点的距离为h，有 

.

AD

=Rsinα     h=R-

.

OC

，

.

OC

=

.

CD

-

.

OD

=Rcosα-(3)/(3)

.

AD

联立得到  h=R-(2)/(3) Rcos(α+30°) （1分）
解得  h=(1-(3)/(3) )R （α=30°）   或  h=(1+(3)/(3) )R （α=90°）   
当α=30°时，粒子在磁场中运动的时间为 t=(T)/(12) =(πm)/(6qB)
当α=90°时，粒子在磁场中运动的时间为 t=(T)/(4) =(πm)/(2qB)
答：M点到O点的距离 h=(1-(3)/(3) )R 或 h=(1+(3)/(3) )R ；粒子在磁场中运动的时间为 (πm)/(6qB) 或 (πm)/(2qB) ．