以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为x=tsinφy=2+tcosφ（t为参数，0<φ<π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．（1）

Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为

x=tsinφ

y=2+tcosφ

（t为参数，0<φ<π），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=8sinθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

（1）直线l的参数方程为

x=tsinφ

y=2+tcosφ

消去参数可得：xcosφ-ysinφ+2sinφ=0；
即直线l的普通方程为xcosφ-ysinφ+2sinφ=0；
曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=8sinθ．可得：ρ²cos²θ=8ρsinθ．
那么：x²=8y．
∴曲线C的直角坐标方程为x²=8y．
（2）直线l的参数方程带入C的直角坐标方程，可得：t²cos²φ-8tsinφ-16=0；
设A，B两点对应的参数为t₁，t₂，
则t1+t2=(8cosφ)/(sin2φ)，t1t2=(16)/(sin2φ)．
∴|AB|=|t₁-t₂|=√((t1+t2)2-4t1t2)=(8)/(sin2φ)．
当φ=(π)/(2)时，|AB|取得最小值为8．