如何求极坐标下曲线绕极轴旋转成的立体的体积?遇到过这样的题,不知道选什么做微分变量.都不知道是不是用极坐标一定可以做,但有些曲线是不太好表示成直角坐标方程的吧.还有,如果是绕

Question

如何求极坐标下曲线绕极轴旋转成的立体的体积?
遇到过这样的题,不知道选什么做微分变量.都不知道是不是用极坐标一定可以做,但有些曲线是不太好表示成直角坐标方程的吧.还有,如果是绕其它直线呢?希不吝赐教~

Answer 1

一.这样的题目可由柱坐标系和球坐标系来解答,柱坐标系是先在面上二重积分用极坐标然后在单积分在z轴上；球坐标系类似一个地球仪（实心的）,由球上任意一点到原点的距离r和经度和纬度表示,一个实际的例子就是在地球上任意一点可由全球定位系统唯一的表示出.
二.1.首先极坐标系是由极轴绕点按逆时针方向旋转,绕过的角度称为极角.
2.极坐标系与直角坐标系可以互换,但极坐标系一般适用于点到定轴的距离等距的形式,比如圆柱体,圆锥体,抛物面等,因为这直接与极轴与极角联系非常容易表示,这些图形的切面都是类似圆面.如何确定r和角度?要看极轴扫过的地方是否是图形的区域来决定,然后具体作答
3.在设极坐标时要看题目的图形,可能是实心面（一般题目都是这样的,因为那个r是变化的,实心面要考虑面上的任意一点）,也可能是空心面（例如环,这时r就是一个定值）
三.好好做上一两道题,试着用不同的方法计算解答,一般所有的积分题目至少有两种解法,比较优劣,（但一般都是球坐标较好,就是一般题型,不是你上面所说的）但是计算旋转体时用柱坐标好