在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x=4cosθy=2sinθ（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ=

Question

在平面直角坐标系xoy中，曲线C ₁ 的参数方程为

x=4cosθ

y=2sinθ

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C ₂ 的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ（ρ＞0）．
（Ⅰ）化曲线C ₁ 、C ₂ 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）设曲线C ₁ 与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作曲线C ₂ 的切线l，求切线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C ₁ ： (x2)/(16) +(y2)/(4) =1 ；曲线C ₂ ：（x-1） ² +（y+2） ² =5；（3分）
曲线C ₁ 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；
曲线C ₂ 为圆心为（1，-2），半径为

5

的圆（2分）
（Ⅱ）曲线C ₁ ： (x2)/(16) +(y2)/(4) =1 与x轴的交点坐标为（-4，0）和（4，0），因为m＞0，
所以点P的坐标为（4，0），（2分）
显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k（x-4），
由曲线C ₂ 为圆心为（1，-2），半径为

5

的圆得 (|k+2-4k|)/(k2 +1) =

5

，
解得 k=(3±10)/(2) ，所以切线l的方程为 y=(3±10)/(2) (x-4) （3分）