在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直

Question

在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C₁上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B，C的直角坐标；
（2）设P是圆C₂：x²+（y+√(3)）²=1上的任意一点，求|PB²|+|PC|²的取值范围．

Answer 1

（1）∵曲线C₁的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=4，
∵正三角形ABC的顶点都在C₁上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），
∴B点的坐标为（2cos120°，2sin120°），即B（-1，√(3)），
C点的坐标为（2cos240°，2sin240°），即C（-1，-√(3)）．
（2）∵圆C₂：x²+（y+√(3)）²=1，∴圆C₂的参数方程

x=cosα

y=-√(3)+sinα

，0≤α<2π，
设点P（cosα，-√(3)+sinα），0≤α<2π，
∴|PB²|+|PC|²=(cosα+1)2+(sinα-2√(3))2+（cosα+1）²+sin²α
=16+4cosα-4√(3)sinα
=16+8cos（α+(π)/(3)），
∴|PB²|+|PC|²的范围是[8，24]．