（2014•银川模拟）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为x＝2+ty＝t（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．（Ⅰ）求直

Question

（2014•银川模拟）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为

x＝√(2)+t

y＝t

（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=1．
（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换

x′＝x

y′＝2y

得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x²+xy+y²的最大值，并求相应点M的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）直线l的方程为x-y-√(2)=0，圆C的方程是x²+y²=1；
∵圆心（0，0）到直线l的距离为d=(|0−0−√(2)|)/(√(12+(−1)2))=1，等于圆的半径r，
∴直线l与圆C的公共点有1个；
（Ⅱ）圆C的参数方程是

x＝cosθ

y＝sinθ

，（0≤θ＜2π）；
∴曲线C′的参数方程是

x＝cosθ

y＝2sinθ

；
∴4x²+xy+y²=4cos²θ+cosθ•2sinθ+4sin²θ=4+sin2θ；
当θ=(π)/(4)或θ=(5π)/(4)时，4x²+xy+y²取得最大值5，
此时M的坐标为（

作业帮用户 2016-12-09

问题解析

（Ⅰ）把直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d与圆半径r的关系，判定直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）由圆C的参数方程求出曲线C′的参数方程，代入4x²+xy+y²中，求出4x²+xy+y²取得最大值时对应的M的坐标．

名师点评

本题考点：

参数方程化成普通方程．

考点点评：

本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．

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