将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（1）

Question

将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．

（1）当m=3时，点B的坐标为         ，点E的坐标为          ；
（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如图，若点E的纵坐标为－1，抛物线 （a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

Answer 1

（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）。
（2）点E能恰好落在x轴上。理由如下：
∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°。
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m。
如图1，假设点E恰好落在x轴上，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得
，
则有 。
在Rt△AOE中，OA ² +OE ² =AE ² ，
即 ，解得 。
（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，

在Rt△PDE中，由勾股定理可得
，
∴BF=DP= 。
在Rt△AEF中，AF=AB−BF=m− ，EF=5，AE=m，
∵AF ² +EF ² =AE ² ，即 ，解得m=3 。
∴AB＝3 ，AF＝2 ，E（2 ，－1）。
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD。
∴ ，即 ，解得FG=2。∴EG=EF－FG=3。∴点G的纵坐标为2。
∵ ，
∴此抛物线的顶点必在直线x＝2 上。
又∵抛物线 的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上。
∴－1＜10－20a＜2，解得 。
∴a的取值范围为 。