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已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcosαy=tsinα(t为参数,0<α<π2),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ=ρ(ρ≥0,0≤θ≤2π).(

题目详情
已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
x=1+tcosα
y=tsinα
(t为参数,0<α<
π
2
),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ=ρ(ρ≥0,0≤θ≤2π).
(Ⅰ)当α=
π
3
时,求直线l的普通方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交A,B两点.求证:
.
OA
.
OB
是定值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)当a=
π
3
时,直线l的参数方程为
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
(t为参数).
消去参数t,得y=
3
(x-1).
∴直线l的普通方程为
3
x-y-
3
=0.
(Ⅱ)将直线方程消去参数t,得直线l的普通方程为y=(x-1)tanα.
又曲线C为:ρcos2θ+4cosθ=ρ
可化为4cosθ=ρsin2θ,
即ρ2sin2θ=4ρcosθ.
x=ρcosθ
y=ρsinθ
代入ρ2sin2θ=4ρcosθ,
得y2=4x,带入y=(x-1)tanα.
得tan2α•x2-2(tan2α+2)x+tan2α=0,
x1x2=1,y12y22=16x1x2=16.注意到y1,y2的符号相反,
可知y1y2=-4.
从而有
OA
OB
=x1x2+y1y
作业帮用户 2017-09-21