以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-π6）（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）O为极点，A，B为圆C上的两点，且∠AOB=π3，求|OA|+|OB|的最大值．

Question

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-(π)/(6)）
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）O为极点，A，B为圆C上的两点，且∠AOB=(π)/(3)，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

（I）圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-(π)/(6)），展开可得：
ρ²=4ρ((√(3))/(2)sinθ-(1)/(2)cosθ)，
可得直角坐标方程：x²+y²=2√(3)y-2x．
配方为（x+1）²+(y-√(3))2=4．
（II）不妨设A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+(π)/(3))．
∴ρ₁+ρ₂=4sin（θ-(π)/(6)）+4sin（θ+(π)/(6)）=8sinθcos(π)/(6)=4√(3)sinθ≤4√(3)，
当且仅当sinθ=1时取得最大值4√(3)．