（2014•河南模拟）已知直线C1：x＝1+tcosay＝2+tsina（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，且C1与C2相交于A，B两点．（Ⅰ）当tana=

Question

（2014•河南模拟）已知直线C₁：

x＝1+tcosa

y＝2+tsina

（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ，且C₁与C₂相交于A，B两点．
（Ⅰ）当tana=-2时，求|AB|；
（Ⅱ）当a变化时，求弦AB的中点P的参数方程，并说明它是什么曲线．

Answer 1

（Ⅰ）当tanα=-2时，将直线C₁的参数方程化成直角坐标方程为y=-2x+4，
曲线C₂的极坐标方程化成直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，
则圆C₂的圆心为C₂（1，0），半径r=1，…（3分）
则圆心C₂到直线C₁：y=-2x+4的距离d＝(2)/(√(5))，
则|AB|＝2√(r2−d2)＝2√(1−(4)/(5))＝(2√(5))/(5)．…（5分）
（Ⅱ）由直线C₁的方程可知，直线C₁恒经过定点（1，2），
记该定点为Q，弦AB的中点P满足C₂P⊥QP，
故点P到C₂Q的中点D（1，1）的距离为定值1，
当直线C₁与圆C₂相切时，切点分别记为E，F．…（7分）

由图，可知∠EDC₂=∠FDC₂=60°，
则点P的参数方程为

x＝1+cosφ

y＝1+sinφ

((7π)/(6)＜φ＜(11π)/(6))，
表示的是一段圆弧．…（10分）