已知直线l的参数方程为x=1+tcosαy=tsinα（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共

Question

已知直线l的参数方程为

x=1+tcosα

y=tsinα

（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点；
（Ⅱ）以α为参数，求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程，并判断该轨迹的曲线类型．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4，
将

x=1+tcosα

y=tsinα

代入x²+y²=4，得t²+2tcosα-3=0，（*）
由△=（2cosα）²-4×（-3）>0，知方程（*）恒有两个不等实根，
故不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．
（Ⅱ）设直线l与曲线交点A、B对应的参数分别为t₁，t₂，弦AB中点P对应参数为t₀，
由（*）知t0=(t1+t2)/(2)=-cosα，
代入

x=tcosα

y=tsinα

中，整理，得弦AB的中点的轨迹方程为

x=1-cos2α

y=-sinαcosα

，
即

x=(1-cos2α)/(2)

y=-(1)/(2)sin2α

（α为参数），该曲线为圆．