在直角坐标系xOy中，曲线C1：x=1+cosφy=sinφ（φ为参数，0<φ<π），曲线C2与曲线C1关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=2（0<θ<π），过极

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁：

x=1+cosφ

y=sinφ

（φ为参数，0<φ<π），曲线C₂与曲线C₁关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₃的极坐标方程为ρ=2（0<θ<π），过极点O的直线l分别与曲线C₁，C₂，C₃相交于点A，B，C．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）求|AC|•|BC|的取值范围．

Answer 1

（I）曲线C₁的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0（0∴曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ（0<θ<π）．
（II）曲线C₂的普通方程为（x+1）²+y²=1（-1≤y<0），
曲线C₃的普通方程为x²+y²=4（0设直线l的方程为y=kx（k>0）．
则A（(2)/(k2+1)，(2k)/(k2+1)），B（-(2)/(k2+1)，-(2k)/(k2+1)），C（(2)/(√(k2+1))，(2k)/(√(k2+1))）．
∵A，B关于原点对称，∴|BC|=|OB|+|OC|=|OA|+|OC|，
∴|AC|•|BC|=（|OC|-|OA|）•（|OA|+|OC|）=|OC|²-|OA|²
=(4+4k2)/(k2+1)-(4+4k2)/((k2+1)2)=4-(4)/(k2+1)．
设f（k）=4-(4)/(k2+1)，则f（k）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（0）=0，

lim

k→+∞

f(k)=4，
∴0<f（k）<4．
即|AC|•|BC|的取值范围时（0，4）．