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在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是x=2+tcosαy=3+sinα(t是参数,0≤α<π),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-π3),直线l与
题目详情
在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是
(t是参数,0≤α<π),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-
),直线l与曲线C相交于A、B两点.
(I)求曲线C的直角坐标方程,并指出它是什么曲线;
(II)若|AB|≥
,求α的取值范围.
|
π |
3 |
(I)求曲线C的直角坐标方程,并指出它是什么曲线;
(II)若|AB|≥
13 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-
),可化为ρ=4×
cosθ+4×
sinθ,
∴ρ2=2ρcosθ+2
sinθ,
∴曲线C的普通方程为x2+y2=2x+2
y,
即(x−1)2+(y−
)2=4,
∴曲线C是圆心为C(1,
),半径r=2的圆.
(Ⅱ)方法一:∵r=2,弦|AB|≥
,
根据圆心C到直线l的距离d=
,
∴d≤
=
.
当α=
时,圆心C到直线l的距离是1>
,不成立;
当α≠
时,设k=tanα,则l:y−
=k(x−2).
d=
=
≤
,
解得−
≤k≤
,即−
≤tanα≤
.
∵0≤α<π,∴α∈[0,
]∪[
,π),即为α的取值范围.
方法二:把
代入曲线C的方程x2+y2=2x+2
y,
化为t2+2tcosα-3=0,
∴t1+t2=-2cosα,t1t2=-3.
∴|AB|=|t1-t2|=
=
,
∵|AB|≥
,
∴
≥
,
∴cos2α≥−
,
∵0≤α<π,∴α∈[0,
]∪[
,π),即为α的取值α
π |
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
∴ρ2=2ρcosθ+2
3 |
∴曲线C的普通方程为x2+y2=2x+2
3 |
即(x−1)2+(y−
3 |
∴曲线C是圆心为C(1,
3 |
(Ⅱ)方法一:∵r=2,弦|AB|≥
13 |
根据圆心C到直线l的距离d=
r2−(
|
∴d≤
4−
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2 |
当α=
π |
2 |
| ||
2 |
当α≠
π |
2 |
3 |
d=
|k−
| ||||
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|k| | ||
|
| ||
2 |
解得−
3 |
3 |
3 |
3 |
∵0≤α<π,∴α∈[0,
π |
3 |
2π |
3 |
方法二:把
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3 |
化为t2+2tcosα-3=0,
∴t1+t2=-2cosα,t1t2=-3.
∴|AB|=|t1-t2|=
(t1+t2)2−4t1t2 |
2cos2α+14 |
∵|AB|≥
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∴
2cos2α+14 |
13 |
∴cos2α≥−
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∵0≤α<π,∴α∈[0,
π |
3 |
2π |
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