在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x＝2+tcosαy＝3+sinα（t是参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-π3），直线l与

Question

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是

x＝2+tcosα

y＝√(3)+sinα

（t是参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-(π)/(3)），直线l与曲线C相交于A、B两点．
（I）求曲线C的直角坐标方程，并指出它是什么曲线；
（II）若|AB|≥√(13)，求α的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-(π)/(3)），可化为ρ＝4×(1)/(2)cosθ+4×(√(3))/(2)sinθ，
∴ρ2＝2ρcosθ+2√(3)sinθ，
∴曲线C的普通方程为x2+y2＝2x+2√(3)y，
即(x−1)2+(y−√(3))2＝4，
∴曲线C是圆心为C(1，√(3))，半径r=2的圆．
（Ⅱ）方法一：∵r=2，弦|AB|≥√(13)，
根据圆心C到直线l的距离d=√(r2−((1)/(2)|AB|)2)，
∴d≤√(4−(13)/(4))=(√(3))/(2)．
当α＝(π)/(2)时，圆心C到直线l的距离是1＞(√(3))/(2)，不成立；
当α≠(π)/(2)时，设k=tanα，则l：y−√(3)＝k(x−2)．
d=(|k−√(3)+√(3)−2k|)/(√(1+k2))=(|k|)/(√(1+k2))≤(√(3))/(2)，
解得−√(3)≤k≤√(3)，即−√(3)≤tanα≤√(3)．
∵0≤α＜π，∴α∈[0，(π)/(3)]∪[(2π)/(3)，π)，即为α的取值范围．
方法二：把

x＝2+tcosα

y＝√(3)+tsinα

代入曲线C的方程x2+y2＝2x+2√(3)y，
化为t²+2tcosα-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosα，t₁t₂=-3．
∴|AB|=|t₁-t₂|=√((t1+t2)2−4t1t2)=√(2cos2α+14)，
∵|AB|≥√(13)，
∴√(2cos2α+14)≥√(13)，
∴cos2α≥−(1)/(2)，
∵0≤α＜π，∴α∈[0，(π)/(3)]∪[(2π)/(3)，π)，即为α的取值α