在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x=ty=2+t（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2．（1）求直线l与圆C的公共点的个

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

x=t

y=2+t

（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2．
（1）求直线l与圆C的公共点的个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换

x′=x

y′=(1)/(2)y

得到线段C′，设G（x，y）为曲线C′上一点，求x²+xy+4y²的最大值，并求相应点G的坐标．

Answer 1

（1）直线l的参数方程为

x=t

y=2+t

（t为参数），普通方程为y=2+x，即x-y+2=0．
圆C的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x²+y²=4，圆心为（0，0），半径为2，
圆心到直线的距离d=(2)/(√(2))=√(2)<2，所以直线l与圆C的公共点的个数为2；
（2）∵曲线C：x²+y²=4经过伸缩变换

x′=x

y′=(1)/(2)y

得到曲线C'，
∴C′：(x2)/(4)+y2=1，
设G（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，
∴x²+xy+4y²=1+sin2θ，
∴x²+xy+4y²的最大值为2，点G的坐标（√(2)，(√(2))/(2)）．