在直角坐标系xOy中，已知圆C：x=2cosθy=2sinθ（θ为参数），点P在直线l：x+y-4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交

Question

在直角坐标系xOy中，已知圆C：

x=2cosθ

y=2sinθ

（θ为参数），点P在直线l：x+y-4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（ I）求圆C和直线l的极坐标方程；
（ II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|²=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．

Answer 1

（Ⅰ）圆C：

x=2cosθ

y=2sinθ

（θ为参数），可得直角坐标方程：x²+y²=4，∴圆C的极坐标方程ρ=2．
点P在直线l：x+y-4=0上，直线l的极坐标方程ρ=(4)/(sinθ+cosθ)．
（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ₁，θ），（ρ，θ），（ρ₂，θ），
因为ρ1=(4)/(sinθ+cosθ)，ρ2=2，
又因为|OP|²=|OR|•|OQ|，即ρ12=ρ•ρ2，∴ρ=(ρ12)/(ρ2)=(16)/((sinθ+cosθ)2)×(1)/(2)，
∴ρ=(8)/(1+sin2θ)．