已知实系数二次函数f（x）与g（x）满足3f（x）+g（x）=0和f（x）-g（x）=0都有双重实根，方程f（x）=0有两个不同实根，求证：方程g（x）=0没有实根．

Question

已知实系数二次函数f（x）与g（x）满足3f（x）+g（x）=0和f（x）-g（x）=0都有双重实根，方程f（x）=0有两个不同实根，求证：方程g（x）=0没有实根．

Answer 1

由题意得：

3f(x)+g(x)=a1(x-b1)2

f(x)-g(x)=a2(x-b2)2

，（其中a₁，a₂≠0），
两式相加得：f（x）=(1)/(4)[a₁(x-b1)2+a₂(x-b2)2]，
∵方程f（x）=0有两个不同实根，
∴a₁，a₂异号，且a₁+a₂≠0，b₁≠b₂，
同理可得：g（x）=(1)/(4)[a₁(x-b1)2-3a₂(x-b2)2]，
∴此时a₁、-3a₂同号，a₁+3a₂≠0，b₁≠b₂，
∴g（x）>0恒成立，
即方程g（x）=0没有实根．