计算二重积分∬Dxydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成．

Question

计算二重积分

∬

D

xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成．

Answer 1

∵D={（r，θ）|0≤θ≤π，0＜r≤1+cosθ}
∴

∬

D

xydσ＝

∫

π 0

dθ

∫

1+cosθ 0

r2sinθcosθ•rdr
=(1)/(4)

∫

π 0

sinθcosθ•(1+cosθ)4dθ
=−

∫

π 0

cosθ•(1+cosθ)4dcosθ

令u＝cosθ

.

(1)/(4)

∫

1 −1

u(1+u)4du
=(1)/(4)

∫

1 −1

(u+4u2+6u3+4u4+u5)du
=2

∫

1 0

(u2+u4)du＝2((1)/(3)u3+(1)/(5)u5)

|

1 0

=(16)/(15)．