证明：如果平面内的一条直线a垂直于平面外的一条直线b,那么a垂直于直线b在平面上的投影c

Question

证明：如果平面内的一条直线a垂直于平面外的一条直线b,那么a垂直于直线b在平面上的投影c

Answer 1

已知:a在平面α内,b在平面α外,
b在平面内的射影为c,a⊥b
求证：a⊥c
证明：b在平面α外,那么b//α或b∩α=P斜交
若b//α,在b上任取2点A,B,分别过A,B
向平面α引垂线AA',BB',垂足分别为A',B'
∵ b在平面内的射影为c
∴A'∈c,B'∈c
∵AA'⊥α,BB'⊥α,a在平面α内
∴a⊥AA'
又a⊥b,b∩AA'=A
∴a⊥平面AA'B'B
∴a⊥A'B'
即a⊥c

若b∩α=P（斜交）
在b上任意取点A,做AA'⊥α,垂足为A'
∵b在平面内的射影为c
∴A'在直线c上
∵AA'⊥α,a在平面α内
∴a⊥AA'
又a⊥b,b∩AA'=A
∴a⊥平面AA'P
∵c在平面AA'P内
∴a⊥A'B'
即a⊥c
综上总有a⊥c,即a垂直于直线b在平面上的投影c