(2007•重庆)如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且于抛物线交于A、B两点．(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程(Ⅱ)若a为锐角，作线段AB的垂线平分m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2

Question

(2007•重庆)如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且于抛物线交于A、B两点．
(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程
(Ⅱ)若a为锐角，作线段AB的垂线平分m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．

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Answer 1

【分析】(Ⅰ)根据抛物线的方程可求得抛物线标准方程中的p，则焦点坐标和准线方程可得；
\n(Ⅱ)设出A，B的坐标，和M的坐标，把A，B代入抛物线方程两式相减求得直线AB的斜率，求得y_otana=4．同时根据AB，MP共线根据斜率相等求得得y_otana=4，进而可推断出AB中垂线方程的斜率，表示出其直线方程，令y=0表示出P的横坐标，进而可表示出|FP|，然后利用余弦的二倍角公式化简整理，把tana=，y_o²=4x_o-8代入整理求得结果为8，为定值，进而原式得证．

\n(Ⅰ)抛物线方程中p=4，
\n∴焦点坐标为(2，0)，准线方程为x=-2
\n(Ⅱ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点M(x_o，y_o)，焦点F(2，0)．
\n则有x₁+x₂=2x_o，y₁+y₂=2y_o.
\n又A，B在曲线上，
\n则有y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
\n两式相减，得AB斜率k====tana，
\n则y_otana=4．
\n由AB，MP共线得k_AB=k_MP，即k==，
\n∴y_o²=4x_o-8．
\n易得AB中垂线方程y=-(x-x_o)+y_o，
\n令y=0，得P点横坐标x_P=x_o+y_otana=x_o+4，
\n则|FP|=x_P-x_F=x_o+2．
\n∵1-cos2a=1-(cos²a-sin²a)=1-=1-(1-)，
\n再将tana=，y_o²=4x_o-8代入整理得1-cos2a=，
\n从而有|PF|-|PF|cos2a=|PF|(1-cos2a)=(xo+2)=8，
\n则原式得证．

【点评】本题主要考查了抛物线的应用以及考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．