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如图,三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直,AB=AD=12CD,AB∥CD,CP⊥CD,M为PD的中点.(1)求证:AM∥平面PBC;(2)求证:平面BDP⊥平面PBC.
题目详情
如图,三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直,AB=AD=
CD,AB∥CD,CP⊥CD,M为PD的中点.
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(1)求证:AM∥平面PBC;
(2)求证:平面BDP⊥平面PBC.
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(1)求证:AM∥平面PBC;
(2)求证:平面BDP⊥平面PBC.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)取PC的中点N,连结MN,BN,
则MN
CD,又AB
CD,
∴四边形ABNM是平行四边形,
∴AM∥BN,又AM⊄平面PBC,BN⊂平面PBC,
∴AM∥平面PBC.
(2)∵平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,CD⊥PC,PC⊂平面PCD,
∴PC⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PC,
∵四边形ABCD是等腰梯形,AD=AB=BC=
CD,
则cos∠BCD=
=
,即∠BCD=60°,
∴BD2=BC2+CD2-BC•CD=3BC2,∴BC2+BD2=CD2,
∴BD⊥BC,
又BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,
∴BD⊥平面PBC,又BD⊂平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PBC.
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则MN
∥ |
. |
1 |
2 |
∥ |
. |
1 |
2 |
∴四边形ABNM是平行四边形,
∴AM∥BN,又AM⊄平面PBC,BN⊂平面PBC,
∴AM∥平面PBC.
(2)∵平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,CD⊥PC,PC⊂平面PCD,
∴PC⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PC,
∵四边形ABCD是等腰梯形,AD=AB=BC=
1 |
2 |
则cos∠BCD=
| ||
BC |
1 |
2 |
∴BD2=BC2+CD2-BC•CD=3BC2,∴BC2+BD2=CD2,
∴BD⊥BC,
又BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,
∴BD⊥平面PBC,又BD⊂平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PBC.
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