如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB=AD=12CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面BDP⊥平面PBC．

Question

如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB=AD=(1)/(2)CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．

（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：平面BDP⊥平面PBC．

Answer 1

证明：（1）取PC的中点N，连结MN，BN，
则MN

∥

.

(1)/(2)CD，又AB

∥

.

(1)/(2)CD，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，
∴AM∥平面PBC．
（2）∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，CD⊥PC，PC⊂平面PCD，
∴PC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PC，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=AB=BC=(1)/(2)CD，
则cos∠BCD=((1)/(2)(CD-AB))/(BC)=(1)/(2)，即∠BCD=60°，
∴BD²=BC²+CD²-BC•CD=3BC²，∴BC²+BD²=CD²，
∴BD⊥BC，
又BC∩PC=C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，
∴BD⊥平面PBC，又BD⊂平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PBC．