如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．

（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．

Answer 1

（本题满分为12分）
（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，
所以CD∥EF．
因为底面ABCD是矩形，
所以AB∥CD．可得：AB∥EF，
又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以EF∥平面PAB．…（6分）
（2）证明：在矩形ABCD中，CD⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF⊂平面PAD，
所以CD⊥AF．
由（1）可知AB∥EF，
又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．
在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．
又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（12分）