如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=22，点E在线段A1D上．（Ⅰ）证明：AA1⊥平面ABCD；（Ⅱ）当A1EED为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E-ACD的

Question

 如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AA₁=AC=2，A₁B=A₁D=2√(2)，点E在线段A₁D上．

（Ⅰ）证明：AA₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）当(A1E)/(ED)为何值时，A₁B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=AC=2，
∵AA₁=2，∴AA₁²+AB²=A₁B²，∴AA₁⊥AB．
同理，AA₁⊥AD，又∵AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD=A．
∴AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅱ）当E为A₁D的中点时，A₁B∥平面EAC．
证明：连接BD交AC于O，连接OE，则OE∥A₁B，
∴A₁B∥平面EAC，此时(A1E)/(ED)=(BO)/(OD)=1．
∴设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA₁，∴EF⊥平面ACD，且EF=1．
∴三棱锥E-ACD的体积V_E-ACD=(1)/(3)×1×(1)/(2)×2×2×(√(3))/(2)=(√(3))/(3)．