如图，在正三棱柱A1B1C1-ABC中，AB=2，A1A=23，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为．

Question

如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB=2，A₁A=2 √(3)，D，F分别是棱AB，AA₁的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为___．

Answer 1

由正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，可得AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC．
在Rt△ADF中，DF=√((√(3))2+12)=2．
把底面ABC展开与侧面ACC₁A₁在同一个平面，如图所示，
只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．
在△ADE中，∠DAE=60°+90^°=150^°，由余弦定理可得：
DE=√((√(3))2+12-2√(3)×cos150°)=√(7)．
∴△DEF周长的最小值=√(7)+2．
故答案为：√(7)+2．